Question

【題目】在四棱錐中， 為正三角形，四邊形為矩形，平面 平面， ， 分別為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證： //平面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）MN是△ABC的中位線，可得MN∥BC∥AD，即可證以MN∥平面PAD．

（Ⅱ）過點(diǎn)P作PO垂直于AB，交AB于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB=2，則A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,B（1,0，0），N（,， ），利用向量法求解．

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵M，N分別是PB，PC中點(diǎn)

∴MN是△ABC的中位線 ∴MN∥BC∥AD

又∵AD平面PAD，MN平面PAD

所以MN∥平面PAD.

(Ⅱ)過點(diǎn)P作PO垂直于AB，交AB于點(diǎn)O，

因?yàn)槠矫?/span>PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=2，則A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0， ）,

B（1,0，0），N（,， ），則，

設(shè)平面CAM法向量為，由 可得

，令，則，即

平面法向量

所以，二面角的余弦值

因?yàn)槎�面�?/span>是銳二面角，

所以二面角等于