Question

（2012•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

3

4

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

2

，直線l：y=kx+

1

4

與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)

1

2

≤k≤2時(shí)，|AB|²+|DE|²的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過F（0，

P

2

），圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，推出求出p=1，推出拋物線C的方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出Q的坐標(biāo)，利用|QM|=|OQ|，求出M（

2

，1）．使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M．
（Ⅲ）當(dāng)x₀=

2

時(shí)，求出⊙Q的方程為．利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，通過|AB|²+|DE|²的表達(dá)式，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知F（0，

P

2

），圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，
因?yàn)閽佄锞�C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1，
因此拋物線C的方程x²=2y．
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，
拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為
y′

|

x=x0

=(

x2

2

) ′  

|

x=x0

=x₀．
令y=

1

4

得，xQ=

x0

2

+

1

4x0

，
所以Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），
又|QM|=|OQ|，
故( -

x0

2

+

1

4x0

)2+(

1

4

-

x02

2

) 2=(

x0

2

+

1

4x0

)2+

1

16

，
因此(

1

4

-

x02

2

) 2=

9

16

．又x₀＞0．
所以x₀=

2

，此時(shí)M（

2

，1）．
故存在點(diǎn)M（

2

，1），使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M．
（Ⅲ）當(dāng)x₀=

2

時(shí)，由（Ⅱ）的Q（

5 2

8

，

1

4

），⊙Q的半徑為：r=

( 5 2 8 )2+( 1 4 )2

=

3 6

8

．
所以⊙Q的方程為(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．
由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-

1

2

，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，
設(shè)D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=

k2

4

+

27

8

＞0，x₃+x₄=

5 2

4(1+ k 2)

，x₃x₄=-

1

16(1+ k 2)

．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=

25

8(1+ k 2)

+

1

4

，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）+

25

8(1+ k 2)

+

1

4

，令1+k²=t，由于

1

2

≤t≤5，則

5

4

≤t≤5，
所以|AB|²+|DE|²=t（4t-2）+

25

8t

+

1

4

=4t²-2t+

25

8t

+

1

4

，
設(shè)g（t）=4t²-2t+

25

8t

+

1

4

，t∈ [

5

4

，5]，因?yàn)間′（t）=8t-2-

25

8t2

，
所以當(dāng)t∈ [

5

4

，5]，g′（t）≥g′（

5

4

）=6，
即函數(shù)g（t）在t∈ [

5

4

，5]是增函數(shù)，所以當(dāng)t=

5

4

時(shí)，g（t）取最小值

13

2

，
因此當(dāng)k=

1

2

時(shí)，|AB|²+|DE|²的最小值為

13

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，設(shè)而不求的解題方法，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．