Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，.
（Ⅰ）若函數(shù)在處有極小值，求，的值；
（Ⅱ）若，設(shè)，求證：當(dāng)時，；
（Ⅲ）若，，對于給定，，，，，其中，，，若.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，再由可得結(jié)果；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出 的最大值，在利用絕對值不等式結(jié)論證明；（Ⅲ）討論三種情況，可得、不合題意，只有符合題意.

試題解析：Ⅰ） ，由已知可得，

解得或.

當(dāng)時， ， 是的極小值點(diǎn).

當(dāng)時， ， 是的極大值點(diǎn)，故舍去.

所以， .

（Ⅱ）

因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，

于是， 在上的最大值在兩端點(diǎn)處取得，

即.

于是 ，

故.

（Ⅲ）

所以，當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減.

①當(dāng)時， ，

，

，

因為在上單調(diào)遞減，所以，

且.

因此， 成立， 符合題意.

②當(dāng)時， ，

，

于是 .

所以 ， 不符合題意.

③時， ，

，

.

所以 ， 不符合題意.

綜上， .