Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t，滿足：對(duì)任意的，.

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求解，利用，，解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；

（2），其中，再次構(gòu)造函數(shù)令，分析的零點(diǎn)情況，，令，，列表分析得出單調(diào)性，判斷，分類討論求解①若，②若，③若，的單調(diào)性，最大值，最小值，確定有無零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極值即可；

（3）存在：，恒成立，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷證明，令，，，求解最大值，得出即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

令，，列表分析

x		1
		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2），，其中，

令，分析的零點(diǎn)情況.

，令，，列表分析

x
		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

，

而，，

，

①若，則，

故在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，舍；

②若，則，，

，

因此在有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③若，則，，

，因此在有一個(gè)零點(diǎn)，

在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

（3）存在：，恒成立.

證明如下：

由（2）得在上單調(diào)遞增，

且，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，（*），所以.

故在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為.

由

x
		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

知，.

又，而時(shí)，（**），

所以.

即，.

所以對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，使.

補(bǔ)充證明（*）：

令，.，所以在上單調(diào)遞增.

所以時(shí)，，即.

補(bǔ)充證明（**）

令，，，所以在上單調(diào)遞減.

所以時(shí)，，即.