Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．

（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而得到單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所處的位置，證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)二次求導(dǎo)可判斷出，；分別在，，和的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，從而確定恒成立時(shí)的取值范圍.

（1）

令，則

當(dāng)時(shí)，令，解得：

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

又，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)

，使得

又在上單調(diào)遞減 為，即在上的唯一零點(diǎn)

綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)

（2）若時(shí)，，即恒成立

令

則，

由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

且，，

，

①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立

在上單調(diào)遞增

，即，此時(shí)恒成立

②當(dāng)時(shí)，，，

，使得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，

在上恒成立，即恒成立

③當(dāng)時(shí)，，

，使得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

時(shí)，，可知不恒成立

④當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減

可知不恒成立

綜上所述：