已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
a
x
(a∈R),設(shè)F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)•g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若以函數(shù)y=F(x)(x∈(0,2))圖象上任一點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線斜率為k≤
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時,對任意的x1,x2∈(0,2),且x1<x2,已知存在x0∈(x1,x2)使得G′(x0)=
G(x2)-G(x1)
x2-x1
,求證:x0
x1x2
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)F(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
;對a進(jìn)行分類討論求單調(diào)區(qū)間
(2)k=F′(x0)=
x0-a
x0 2
1
2
恒成立,轉(zhuǎn)化為a≥-
1
2
x02+x0=-
1
2
(x0-1)2+
1
2
恒成立,其中x∈(0,2),
(3)G′(x)=
1-lnx
x2
,得出G′(x)在(0,2)上是減函數(shù),要證x0
x1x2
,只需證G(x0)>G(
x1x2
)
,
解答: 解:(1)由題意可知F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
a
x
(x>0)
,∴F(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
;
當(dāng)a≤0時,F(xiàn)′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴F(x)的增區(qū)間為(0,+∞)
當(dāng)a>0時,令F′(x)>0得x>a;令F′(x)<0得0<x<a,
∴F(x)的增區(qū)間為(a,+∞),減區(qū)間為(0,a)
綜合上述可得:當(dāng)a≤0,增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)a>0時,增區(qū)間為(a,+∞),減區(qū)間為(0,a).
(2)由(1)知,F(xiàn)′(x)=
x-a
x2
 x∈(0,2),則k=F′(x0)=
x0-a
x0 2
1
2
恒成立.
即a≥-
1
2
x02+x0=-
1
2
(x0-1)2+
1
2
,當(dāng)x0=1時,-
1
2
x02+x0=取得最大值為
1
2
,∴a≥
1
2

(3)當(dāng)a=1時,G(x)=
lnx
x
,G′(x)=
1-lnx
x2
,
令h(x)=G′(x)=
1-lnx
x2
,則h′(x)=
2lnx-3
x3

當(dāng)x∈(0,2)時,2lnx-3<2ln2-3=ln4-lne3<0,
∴h′(x)<0,∴h(x)在(0,2)上是減函數(shù),即G′(x)在(0,2)上是減函數(shù)
要證x0
x1x2
,只需證G(x0)>G(
x1x2
)
,即證G(x0)-G(
x1x2
)>0

∵對任意x1,x2∈(0,2),存在x0∈(x1,x2)使得G(x)=
G(x2)-G(x1)
x2-x1
G(x0)-G(
x1x2
)=
lnx2
x2
-
lnx1
x1
x2-x1
-
1-ln
x1x2
x1x2
=
1
2
(x1+x2)ln
x2
x1
-(x2-x1)
x1x2(x2-x1)
=
1
2
(
x2
x1
+1)ln
x2
x1
-(
x2
x1
-1)
x1x2(
x2
x1
-1)

∵0<x1<x2<2,∴x1x2>0,
x2
x1
>1
,∴
x2
x1
-1>0

∴只需要證
1
2
(
x2
x1
+1)ln
x2
x1
-(
x2
x1
-1)>0
,即要證:ln
x2
x1
2(
x2
x1
-1)
x2
x1
+1
,令
x2
x1
=t(t>1),只需證:lnt-
2(t-1)
t+1
>0,
h(t)=[lnt-
2(t-1)
t+1
]′=
(t-1)2
t(t+1)2
>0,h(t)在(1,+∞)上是增函數(shù),當(dāng)t>1時,h(t)>h(1)=0,
lnt-
2(t-1)
t+1
>0成立,故x0
x1x2
點(diǎn)評:本題綜合考察函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及分類討論,轉(zhuǎn)化構(gòu)造等能力,思維難度大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:5:7且△ABC的周長為30,則△ABC的面積為(  )
A、
15
3
14
B、
13
3
4
C、13
3
D、15
3
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正四面體ABCD中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),則異面直線AE與CF所成角的余弦為( �。�
A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
6
3
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的圖象與直線y=4相切于M(1,4).
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的極值;
(Ⅲ)是否存在兩個不等正數(shù)s,t(s<t),當(dāng)x∈[s,t]時,函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的值域也是[s,t],若存在,求出所有這樣的正數(shù)s,t;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
4x
4x+2
,
(1)計(jì)算f(x)+f(1-x)=
 
;
(2)若{an}滿足an=f(
n
1001
),則S1000=
 
;
(3)f(
1
1000
)+f(
2
1000
)+f(
3
1000
)+…+f(
999
1000
)=
 

(4)一般情況下,若Sn=f(
1
n+1
)+f(
2
n+1
)+f(
3
n+1
)+…+f(
n
n+1
),則Sn=
 
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(a∈R),令φ(x)=f(x)+g′(x).
(1)當(dāng)a=0時,求φ(x)的極值;
(2)當(dāng)a<-2時,求φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)-3<a<-2時,若對?λ1,λ2∈[1,3],使得|φ(λ1)-φ(λ2)|<(m+ln2)a-2ln3恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2DC,F(xiàn)是BE的中點(diǎn).求證:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx+1.
(1)求函數(shù)f(x)在x∈[e-2,e2]上的最大值與最小值;
(2)若x>1時,函數(shù)y=f(x)的圖象恒在直線y=kx上方,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)n∈N*時,ln(n+1)>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=2x3+3ax2-12a2x+2a,a∈R.
(1)若f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若g(x)=f(x)+2x-x2的區(qū)間(0,1)內(nèi)存在極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹