Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出下述命題：
①f（x）有最小值；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽；
③若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-4；
④a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?1，0）；
則其中正確的命題的序號(hào)是②．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），是一個(gè)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，外層是遞增的對(duì)數(shù)函數(shù)，內(nèi)層是一個(gè)二次函數(shù)．故可依據(jù)兩函數(shù)的特征來對(duì)下面幾個(gè)命題的正誤進(jìn)行判斷

解答 解：①f（x）有最小值不一定正確，因?yàn)槎�義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，
函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1）的值域是R，無最小值，
題目中不能排除這種情況的出現(xiàn)，故①不對(duì)．
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽是正確的，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的定義域不是R，
即內(nèi)層函數(shù)的值域是（0，+∞）故（x）的值域?yàn)镽故②正確．
③若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-4．是不正確的，
由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得內(nèi)層函數(shù)的對(duì)稱軸-$\frac{a}{2}$≤2，可得a≥-4，
由對(duì)數(shù)式有意義可得4+2a-a-1＞0，解得a＞-3，
故由f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，應(yīng)得出a＞-3，故③不對(duì)；
④a=1時(shí)，f（x）=lg（x²+x-2），令x²+x-2＞0，解得：x＞1或x＜-2，
故函數(shù)的定義域是（-∞，-2）∪（1，+∞），故④不對(duì)；
綜上，②正確，
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本考點(diǎn)地對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，考查用定義判斷其最小值的存在性，值域的范圍，以及用單調(diào)性求參數(shù)的范圍．較好的考查了答題者用基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行分析判斷的能力．