19、如圖四棱錐P-ABCD，PC⊥面ABCD，PC=2，面ABCD是邊長為1的正方形，E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)．
（Ⅰ） 當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，AP∥面EBD？并證明；
（Ⅱ） 是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．
分析：（I）令E點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，由三角形中位線法則，易得OE∥PA，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到AP∥面EBD，進(jìn)而得到結(jié)論．
（II）連接AC，由正方形對角線互相垂直，則已知中PC⊥面ABCD，我們易得BD⊥AE，BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)為PC的中點(diǎn)時(shí)，AP∥面EBD
連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，
∵O為AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)
∴OE∥PA
又由OE?面EBD，PA?面EBD
∴AP∥面EBD
（Ⅱ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．
證明如下：連接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC．
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間直線與直線、直線與平面平行或垂直的判定定理及證明步驟是解答此類問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=
1
3
GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求
CF
CP
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市模擬題 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).
(1)求證：DA⊥平面PAC；
(2)試在線段PD上確定一點(diǎn)G，使CG∥平面PAF，并求三棱錐A-CDG的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省模擬題 題型：解答題

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：PC⊥BG；
(Ⅱ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
(Ⅲ)若F是PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，PA=AB=1，AD=3，且∠ADC=arcsin.求:

(1)三棱錐P—ACD的體積;

(2)直線PC與AB所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年浙江省高考數(shù)學(xué)沖刺試卷A（理科）（解析版） 題型：解答題

已知如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥BG；
（2）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一點(diǎn)，且的值．

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