Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA₁=2

2

，點D是AB的中點，點E是BB₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥平面CDE；
（2）求二面角D-CE-A₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）欲證A₁B⊥平面CDE，只需證明A₁B垂直平面CDE內(nèi)兩條相交直線即可，而A₁B⊥DE，CD⊥A₁B，CD∩DE=D，CD，DE?面CDE，滿足線面垂直的判定定理，結(jié)論得證；
（2）由題意，∠ACB=90°，以C 為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC₁，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而可求平面的法向量，從而利用數(shù)量積公式可求．

解答：證明：（1）∵AA₁⊥底面ABC，CD?面ABC
∴AA₁⊥CD
∵AC=BC，點D是AB的中點
∴AB⊥CD
∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?面A₁ABB₁∴CD⊥面A₁ABB₁
∵A₁B?面A₁ABB₁
∴CD⊥A₁B
∵正方形A₁ABB₁中，DE∥AB₁，A₁B⊥AB₁
∴A₁B⊥DE
∵CD∩DE=D，CD，DE?面CDE
∴A₁B⊥面CDE
（2）由題意，∠ACB=90°
以C 為坐標(biāo)原點，CA，CB，CC₁，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
C（0.0，0），A₁（2，0，2

2

），E（0，2，

2

），D（1，1，0）
∴

CE

=(0，2，

2

)，

CA1

=(2，0，2

2

)，

CD

=(1，1，0)
∴平面的法向量分別為（2，1，-

2

），（2，-2，-

2

），
∴cosα=

4

2 15

=

2 15

15

∴二面角D-CE-A₁的大小 arccos

2 15

15

點評：本題以直三棱柱為載體，考查線面垂直的判定定理，考查面面角，同時考查了計算能力和論證推理能力，屬于中檔題．