Question

已知圓：交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線：為準線的橢圓．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若是直線上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標；
（3）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點，且，試求此時弦的長．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標準方程為，則：
，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。  4分
（Ⅱ）設(shè)，則圓方程為 
與圓聯(lián)立消去得的方程為，
過定點。                              …………8分 
（Ⅲ）解法一：設(shè)，則,………①
，，即：
代入①解得：（舍去正值），      ，所以，
從而圓心到直線的距離，從而， 16分
點評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的時候，一般采用聯(lián)立方程組的思想來得到，屬于基礎(chǔ)題。