Question

在下列結(jié)論中：
①函數(shù)y=sin（kπ-x）（k∈Z）為奇函數(shù)；
②函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是

π

2

；
③函數(shù)y=cos(2x+

π

3

)的圖象的一條對稱軸為x=-

2

3

π；
④函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上單調(diào)減區(qū)間是[-2π， -

5π

3

]∪[

2π

3

， 2π]．
其中正確結(jié)論的序號為

 

（把所有正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：①對k分類討論可得：函數(shù)y=sin（kπ-x）=（-1）^k+1sinx（k∈Z）為奇函數(shù)；
②利用倍角公式可得：函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，其最小正周期是π；
③由于f(-

2π

3

)=cos[2×(-

2π

3

)+

π

3

]=cos（-π）=-1，可知函數(shù)y=cos(2x+

π

3

)的圖象的一條對稱軸為x=-

2

3

π；
④由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+4kπ≤x≤4kπ+

7π

3

（k∈Z）．分別取k=-1，0即可得出函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：①函數(shù)y=sin（kπ-x）=（-1）^k+1sinx（k∈Z）為奇函數(shù)，正確；
②函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，其最小正周期是π，因此不正確；
③∵f(-

2π

3

)=cos[2×(-

2π

3

)+

π

3

]=cos（-π）=-1，因此函數(shù)y=cos(2x+

π

3

)的圖象的一條對稱軸為x=-

2

3

π，正確；
④由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

3

+4kπ≤x≤4kπ+

7π

3

（k∈Z）．當k=-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-2π，-

5π

3

]；當k=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

，2π]，可得函數(shù)y=sin(

1

2

x+

π

3

)在[-2π，2π]上單調(diào)減區(qū)間是[-2π，-

5π

3

]，[

π

3

，2π]．其次其單調(diào)區(qū)間不能用“∪”，因此不正確．
其中正確結(jié)論的序號為①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．