Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程分f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，判斷函數(shù)g（x）=f（x）-m的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，所以判別式△=（b-1）²=0，所以求出b=1，而由f（2）=0即可求出a=-

1

2

；
（2）容易判斷出g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，所以只需討論g（2）＞0，g（2）=0，

g(1)≥0 g(2)＜0

，g（1）＜0這幾種情況即可判斷出g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由題意知，ax²+（b-1）x=0有兩個(gè)相等實(shí)根；
∴△=（b-1）²=0；
∴b=1；
由f（2）=0得，4a+2b=4a+2=0；
∴a=-

1

2

；
∴f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）g（x）=-

1

2

x2+x-m，該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1；
∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
∴若g（2）=-m＞0，即m＜0，g（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
若g（2）=-m=0，即m=0，g（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
若g（2）=-m＜0，且g（1）=

1

2

-m≥0，即0＜m≤

1

2

，g（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
若g（1）=

1

2

-m＜0，即m＞

1

2

，g（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根時(shí)判別式△的取值情況，二次函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及根據(jù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的過程．