Question

已知點P（a，0），對于拋物線y²=2x上任一點Q，都有|PQ|≥|a|，則實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)Q（x，y），由P（a，0），利用兩點間的距離公式能求出|PQ|²=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0），再由二次函數(shù)的性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)Q（x，y），
∵P（a，0），
∴|PQ|²=（x-a）²+y²
=（x-a）²+2x
=x²+2（1-a）x+a²
=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0）
這是個二次函數(shù)，對稱軸x=a-1，
若a-1≥0，a≥1，則當x=a-1時，|QP|_min=

2a-1

．
若a-1＜0，a＜1，則當x=0時，|QP|_min=|a|．
∴當a＜1時，有|PQ|≥|a|．
由

2a-1

≥|a|，解得：a=1．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意兩點間距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．