Question

已知圓C：（x+4）²+y²=4，圓D的圓心在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A、B兩點（點A在點B上方）
（Ⅰ）圓D的圓心在什么位置時，圓D與x軸相切；
（Ⅱ）在x軸正半軸上求點P，當圓心D在y軸的任意位置時，直線AP與直線BP的夾角為定值，并求此常數(shù)．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（I）設(shè)D（0，a），則由題意可得

42+a2

=2+|a|，解方程，可得a的值，從而可得D的坐標．
（Ⅱ）假設(shè)存在點P（x，0），根據(jù)直線AP與直線BP的夾角為定值，我們構(gòu)造關(guān)于x的方程，若方程有解，則存在這樣的點，若方程無實根，則不存在這樣的點．

解答： 解：（I）設(shè)D（0，a），則
∵圓D與x軸相切，∴圓D半徑r=|a|．
又∵圓D與圓C外切，∴

42+a2

=2+|a|，
∴16+a²=4+4|a|+a²，
∴|a|=3，即a=±3．
∴當D在（0，3）或（0，-3）時，圓D與x軸相切；
（Ⅱ）證明：假設(shè)存在點P（x，0），x＞0，圓D的方程為x²+（y-a）²=r²．
當D在y軸上運動時，令D（0，t），|CD|=

t2+16

，
圓D的半徑R=

t2+16

-2，A（0，t+R），B（0，t-R），
∵∠APB=∠APC-∠BPC，
∴tan∠APB=

2rx

x2+t2-r2

=

2x t2+16 -4x

4 t2+16 +x2-20

為常數(shù)
∴

2x

4

=

-4x

x2-20

，
∵x＞0，
∴x=2

3

，
∴存在滿足題意的點P的坐標為（2

3

，0），直線AP與直線BP的夾角為

π

3

．

點評：本題重點考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線的傾斜角與斜率，考查存在性問題，有綜合性．