Question

19．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇0，+∞），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=sinπx，當(dāng)x∈[n，n+1]時(shí)，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b有且僅有2016個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{{2}^{1007}}$，$\frac{1}{{2}^{1006}}$）
• C． （$\frac{1}{{2}^{2017}}$，$\frac{1}{{2}^{2016}}$）
• D． （$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象總結(jié)出函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b的交點(diǎn)情況，從而得出b的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，x∈[0，1]時(shí)，f（x）=sinπx，
x∈[n，n+1]時(shí)，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，
∴f（n）=sinnπ=0，
f（$\frac{1}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，
f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{f（\frac{3}{2}-1）}{2}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{f（\frac{5}{2}-2）}{{2}^{2}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{4}$=$\frac{1}{4}$，…；
畫出圖形如圖所示；
當(dāng)b∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b有2個(gè)交點(diǎn)；　　
當(dāng)b∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b有4個(gè)交點(diǎn)；　　
當(dāng)b∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b有6個(gè)交點(diǎn)；…；
當(dāng)b∈（$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=b有2016個(gè)交點(diǎn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義與性質(zhì)以及函數(shù)圖象的應(yīng)用問題，是較難的題目．