Question

如圖，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2VC，∠ACB=120°．
（1）求證：AB⊥VC；
（2）求二面角V-AB-C的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點(diǎn)E，連接VE，CE，由已知條件推導(dǎo)出VE⊥AB，CE⊥AB，從而AB⊥平面VEC，由此能證明AB⊥VC．
（2）由已知得∠VEC為所求二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的度數(shù)．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)E，連接VE，CE，
因?yàn)閂A=VB，所以VE⊥AB，
同理，因?yàn)镃A=CB，所以CE⊥AB，
又因?yàn)閂E∩CE=E，
所以AB⊥平面VEC，
又因?yàn)閂C?平面VEC
所以AB⊥VC．
（2）解：由（1）知∠VEC為所求二面角V-AB-C的平面角，
設(shè)VC=a，因?yàn)镋為中點(diǎn)，AB=AC=2VC=2a，
又因?yàn)椤螦CB=120°，所以AE=EB=

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a，CE=a，VE=a，
因?yàn)樵凇鱒EC中，VC=a，所以△VEC為等邊三角形，
所以∠VEC=60°，所以二面角V-AB-C的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．