Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（1-a）x-alnx\;，\;a∈R$．
（1）若f（x）存在極值點(diǎn)為1，求a的值；
（2）若f（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，利用f（x）存在極值點(diǎn)為1，結(jié)合f'（1）=0，求出a．
（2）求出$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$，通過①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值，所以當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值f（a），利用f（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，f（a）＜0，作y=f（x）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線g（x）=f（2a-x），令h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x），求出導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，因?yàn)閒（x）存在極值點(diǎn)為1，所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以a=1．（4分）
（2）$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得x=a，
當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）為增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0，所f（x）為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值f（a）
又因?yàn)閒（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，所以f（a）＜0，即$\frac{1}{2}{a^2}+（1-a）a-alna＜0$
整理得$lna＞1-\frac{1}{2}a$，
作y=f（x）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線g（x）=f（2a-x），
令$h（x）=g（x）-f（x）=f（2a-x）-f（x）=2a-2x-aln\frac{2a-x}{x}$$h'（x）=-2+\frac{{2{a^2}}}{（2a-x）x}=-2+\frac{{2{a^2}}}{{-{{（x-a）}^2}+{a^2}}}≥0$所以h（x）在（0，2a）上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)x₁＜a＜x₂，則h（x₂）＞h（a）=0，即g（x₂）=f（2a-x₂）＞f（x₂）=f（x₁），
又因?yàn)?a-x₂∈（0，a），x₁∈（0，a），且f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，
故2a-x₂＜x₁，即x₁+x₂＞2a，又$lna＞1-\frac{1}{2}a$，易知a＞1成立，故x₁+x₂＞2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力．