Question

已知函數(shù)f（x）=log₂|x+1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的定義域和值域；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）=log₂|x+1|，
由|x+1|＞0解得，x＜-1或x＞1，
則函數(shù)f（x）定義域：（-∞，-1）∪（-1，+∞），
由|x+1|＞0，則函數(shù)f（x）值域：（-∞，+∞）．
（2）當x＜-1時，函數(shù)y=|x+1|=-x-1，并且在（-∞，-1）是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=log₂^x在定義域上是增函數(shù)，
∴原函數(shù)y=f（x）在（-∞，-1）是減函數(shù)，
當x＞-1時，函數(shù)y=|x+1|=x+1，并且在（-1，+∞）是增函數(shù)，
∵函數(shù)y=log₂^x在定義域上是增函數(shù)，
∴原函數(shù)y=f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù)，
綜上，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間（-∞，-1）；單調(diào)增區(qū)間（-1，+∞）．
分析：（1）由|x+1|＞0求得函數(shù)的定義域，再根據(jù)真數(shù)|x+1|＞0和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域；
（2）分x＜-1和x＞-1兩種情況，化簡真數(shù)對應(yīng)的函數(shù)y=|x+1|，并判斷在區(qū)間上單調(diào)性，由底數(shù)是2的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和“同增異減”法則，求出原函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．
點評：本題考查了對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，利用真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域和值域，再根據(jù)絕對值中式子的符號進行分類求解，利用“同增異減”法則求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了分析問題和解決問題的能力．