Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+m

ex+1

，若對(duì)于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、[

  1

  2

  ，2]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把函數(shù)化為函數(shù)f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，分類討論得出值域，根據(jù)端點(diǎn)值，f（a）+f（b）＞f（c）成立，最小值的2倍與最大值的比較，列出不等式即可求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

ex+m

ex+1

，
∴函數(shù)f（x）=

ex+m

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，
∵e^x+1＞1，
∴0＜

1

ex+1

＜1，
①當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=1，對(duì)于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
②當(dāng)m＞1時(shí)，∵0＜

m-1

ex+1

＜m-1，
1＜1+

m-1

ex+1

＜m，
∴對(duì)于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立
即有只需：2≥m，
∴1＜m≤2，
③當(dāng)m＜1時(shí)，m-1＜

m-1

ex+1

＜0，
∴m＜1+

m-1

ex+1

＜1，
∴對(duì)于任意a，b，c∈R，都有f（a）+f（b）＞f（c）成立，即只需2m≥1，

1

2

≤m＜1，
綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[

1

2

，2]，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的恒成立問(wèn)題與函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，難度較大，屬于思維量大的題目