Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）（x∈R），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（

π

6

，0）對稱．
（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）運用兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角公式，化簡f（x），再由對稱性，計算可得A，再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到值域；
（Ⅱ）運用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面積公式即可計算得到．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）
=2（sinxcosA-cosxsinA）cosx+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A），
由于函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（

π

6

，0）對稱，則f（

π

6

）=0，
即有sin（

π

3

-A）=0，由0＜A＜π，則A=

π

3

，
則f（x）=sin（2x-

π

3

），
由于x∈（0，

π

2

），則2x-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
即有-

3

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1．
則值域為（-

3

2

，1]；
（Ⅱ）由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

14

3

，
則sinB=

3

14

b，sinC=

3

14

c，
sinB+sinC=

3

14

（b+c）=

13 3

14

，
即b+c=13，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即49=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
即有bc=40，
則△ABC的面積為S=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

點評：本題重點考查正弦定理和余弦定理以及面積公式的運用，考查兩角和差的正弦公式和二倍角公式的運用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．