【題目】已知函數(shù)存在兩個極值點．

（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）設和分別是的兩個極值點且，證明： ．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對原函數(shù)求導，即該導函數(shù)在有兩個不同根，對該導函數(shù)繼續(xù)求導，發(fā)現(xiàn)只有一個零點，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論即可.

（Ⅱ）要證，即證．

由得，得.

所以原命題等價于證明．

因為，故只需證，即

令，則，設，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設函數(shù)的定義域為， ，故函數(shù)有兩個極值點等價于其導函數(shù)在有兩個零點．

當a = 0時，顯然只有1個零點．當a≠0時，令，那么．

若a < 0，則當x > 0時，即單調(diào)遞增，所以無兩個零點. … 3分

若a > 0，則當時， 單調(diào)遞增；當時， 單調(diào)遞減，所以. 又，當x→0時→，故若有兩個零點，則，得．

綜上得，實數(shù)a的取值范圍是．

（Ⅱ）要證，兩邊同時取自然對數(shù)得．

由得，得.

所以原命題等價于證明．

因為，故只需證，即

令，則，設，只需證．… 10分

而，故在單調(diào)遞增，所以．

綜上得．

點晴:本題主要考查函數(shù)極值，不等式證明問題.要求極值，求導得導函數(shù)，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論極值情況，要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進而求解得結(jié)果.

練習冊系列答案
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【題目】函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，曲線BCD為拋物線的一部分．

（Ⅰ）求f（x）解析式；

（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；

（Ⅲ）若f（x）＞f（2-x），求x的取值范圍．

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【題目】已知 ．

（1）若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍；

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（Ⅰ）求全班人數(shù)及分數(shù)在之間的頻率；

（Ⅱ）現(xiàn)從分數(shù)在之間的試卷中任取 3 份分析學生情況，設抽取的試卷分數(shù)在的份數(shù)為 ，求的分布列和數(shù)學望期．

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(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明；

(3)若x∈時，函數(shù)f(x)的值域是[0,1]，求實數(shù)a的值．

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【題目】已知函數(shù)，．

（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；

（2）設，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】設，

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得對任意成立．

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【題目】如圖甲，直角梯形中， ， ，點分別在上，且， ， ，現(xiàn)將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）.

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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f(2)＝.

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(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值．

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