Question

設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上.設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）試判斷圓與軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）   （2）見解析    （3）存在

試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點位置，得到焦點坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式得到FA的中點坐標(biāo)帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關(guān)系，可以用k來替代m，得到P點的坐標(biāo)，拋物線準(zhǔn)線與直線的方程可得到Q點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式可得到PQ中點坐標(biāo)，通過討論k的取值范圍得到中點到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關(guān)系.
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(biāo)(用k表示)，根據(jù)拋物線對稱性知點在軸上，設(shè)點坐標(biāo)為，則M點需滿足，即向量內(nèi)積為0，即可得到M點的坐標(biāo)，M點的坐標(biāo)如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點，如若不然，則不存在.
試題解析：
解：（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標(biāo)為，代入方程得，解得。                                2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為        3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                 4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點的坐標(biāo)為
圓心到軸距離，
 
∵
                  8分
∵，
∴當(dāng)時，，圓與軸相切；
當(dāng)時，，圓與軸相交；        9分
(或，以線段為直徑圓的方程為:
令得 　
∴當(dāng)時，，圓與軸相切；
當(dāng)時，，圓與軸相交；        9分
（3）方法一：假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，設(shè)點坐標(biāo)為，                          10分
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或           13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.           14分
證法二：由（2）知，，的中點的坐標(biāo)為

所以圓的方程為        11分
整理得             12分
上式對任意均成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得            13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.            14分