Question

在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB•cosC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：第一個(gè)等式變形后，利用余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求出A的度數(shù)，第二個(gè)等式化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，得到B=C，即可確定出三角形形狀．

解答： 解：將（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）²-a²=3bc，即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：cosA=

1

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，∴A=

π

3

，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=

2π

3

，
∴A=B=C=

π

3

，
則△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．