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12.已知函數(shù)f(x)=2cos(π-x2)•tan(π-x2)•cosx2,-π2≤x≤π2
(1)求f(π2)的值;
(2)判斷函數(shù)是否是偶函數(shù)(請(qǐng)直接給出結(jié)論);
(3)求f(2x)在區(qū)間[-π6,π2]上的最大值和最小值.

分析 (1)利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系對(duì)函數(shù)f(x)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn),代入求值即可;
(2)根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行推斷;
(3)根據(jù)余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答.

解答 解:(1)∵f(x)=2cos(π-x2)•tan(π-x2)•cosx2,-π2≤x≤π2
∴f(x)=2sinx2•(-tanx2)•cosx2=-2sin2x2=cosx-1.
則f(π2)=cosπ2-1=-1;
(2)該函數(shù)是偶函數(shù).理由如下:
由(1)知,f(x)=cosx-1.
∵f(-x)=cos(-x)-1=cosx-1=f(x),即f(-x)=f(x),
∴該函數(shù)是偶函數(shù).
(3)∵f(2x)=cos2x-1.x∈[-π6,π2],
∴2x∈[-π3,π],
∴f(2x)最大值=0,f(2x)最小值=-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

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