Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）若存在n∈N^*，使得S_n+1-2≤8n³λ成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）將已知條件a₁+a₂+a₃=14，且a₁+1是a₁，a₃的等差中項，用基本量表示，列出方程組，求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出數列{a_n}的通項．
（2）由b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．
（3）原問題等價于：存在n∈N^*，使得λ≥

n•2n+1

8n3

=

2n-1

n2

成立，令f（n）=

2n-1

n2

，只需λ≥f（n）_min即可，由此能求出λ的最小值．

解答： 解：（1）設等比數列{an}的公比為q，
∵a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中項，
∴

a1(1+q+q2)=14 a1(1+q2)=2(a1q+1)

，
解得q=2，a₁=2，或q=

1

2

，a₁=8（舍）
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-Sn=2+2 2+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．
（3）由（2）知Sn+1=n•2n+2+2，
原問題等價于：存在n∈N^*，使得λ≥

n•2n+1

8n3

=

2n-1

n2

成立，
令f（n）=

2n-1

n2

，只需λ≥f（n）_min即可，
∵f（n+1）-f（n）=

2n

(n+1)2

-

2n-1

n2

=

2n-1(n2-2n-1)

n2(n+1)2

，
∴f（n+1）-f（n）的正負取決于n²-2n-1=（n-1）²-2的正負，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜…
∴f（n）_min=f（3）=

4

9

，即λ≥

4

9

，
∴λ的最小值是

4

9

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查實數的最小值的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用．