Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=xlnx-f（x）在定義域內(nèi)存在零點(diǎn)，求a的最大值．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取隨范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)來得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里注意對(duì)a的討論．
（Ⅱ）函數(shù)F（x）有零點(diǎn)，即定義域內(nèi)存在x使F（x）=0，這樣便得到含有a的等式，為了求a的最大值，所以可能要整理成用x表示a的等式，也可說是把a(bǔ)求出來．即a=

1-ex

x

+lnx，所以求函數(shù)

1-ex

x

+lnx最大值即可．
（Ⅲ）要讓f（g（x））＜f（x）恒成立，應(yīng)猜想函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增或遞減，而g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立；所以下面要做的是看g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后再看f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a所以，
（1）若a≥0，則f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若a＜0，令e^x+a=0，得x=ln（-a），當(dāng)x＜ln（-a）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞ln（-a）時(shí)，f′（x）＞0，所以：
f（x）在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，f（x）在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增；
綜上得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，在（ln（-a），+∞）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由題意知：在（0，+∞）上存在x使F（x）=xlnx-f（x）=xlnx-e^x-ax+1并得到a=

1-ex

x

+lnx；
所以函數(shù)

1-ex

x

+lnx的最大值，就是a的最大值，則令h（x）=

1-ex

x

+lnx，h′（x）=（1-x）（e^x-1）；
所以，x∈（0，1）上h′（x）＞0，x∈（1，+∞） h′（x）＜0，所以h（x）≤h（1）=1-e，即h（x）最大值是1-e，所以a的最大值是1-e．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=-1時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=0；
∴對(duì)x＞0時(shí)，有f（x）＞0，則e^x-1＞x；
故對(duì)任意x＞0，g（x）=ln（e^x-1）-lnx＞0；
所以，要證?x＞0，g（x）＜x；
只需證：?x＞0，ln（e^x-1）-lnx＜x；
即證：ln（e^x-1）＜lnx+lne^x；
即證：?x＞0xe^x＞e^x-1；
所以，只要證：?x＞0xe^x-e^x+1＞0；
令H（x）=xe^x-e^x+1，則H′（x）=xe^x＞0；
故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴H（x）＞H（0）=0；
∴對(duì)?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，即g（x）＜x；
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
則f（g（x））＜f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，要使f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，須ln（-a）≤0，得-1≤a＜0；
故a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：第一問求單調(diào)區(qū)間，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求，注意對(duì)a討論．第二問，注意把求a的最大值，轉(zhuǎn)變成求函數(shù)的最大值，并且用求導(dǎo)判斷單調(diào)性的辦法．第三問，看到恒成立的不等式，去猜想g（x）＜x，或g（x）＞x恒成立，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求a的范圍即可．