Question

在正四棱錐S-ABCD中，所有棱長都是2，P為SA的中點(diǎn)．
（1）求二面角B-SC-D的大小；
（2）如果Q點(diǎn)在棱SC上．那么直線BQ能否與PD垂直，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（1）取SC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，DE，由題意知∠BED是二面角B-SC-D的平面角，由此能求出二面角B-SC-D的大小．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能推導(dǎo)出直線BQ與PD不垂直．

解答： 解：（1）如圖所示，取SC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，DE，
由題意知∠BED是二面角B-SC-D的平面角，
∵正四棱錐S-ABCD中，所有棱長都是2，P為SA的中點(diǎn)，
∴DE=BE=

3

，DB=2

2

，cos∠BED=

DE2+BE2-DB2

2BE•DE

=-

1

3

，
∴二面角B-SC-D的大小為arccos（-

1

3

）．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
A（0，-

2

，0），B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），
S（0，0，

2

），P（0，-

2

2

，

2

2

），
Q點(diǎn)在棱SC上，設(shè)

SQ

=λ

SC

，（0≤λ≤1）
則Q（0，

2

λ，

2

（1-λ）），
∴

DP

=(

2

，-

2

2

，

2

2

)，

BQ

=(-

2

，

2

λ，

2

(1-λ))，

DP

•

BQ

=-1-2λ=0，
得λ=-

1

2

不符合要求，
∴直線BQ與PD不垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的大小的求法，考查直線是否垂直的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．