Question

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	3	0	﹣3	0

（1）請(qǐng)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求當(dāng)x∈[﹣ ， ]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域；
（3）若將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若=h（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ），求θ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=3，ω=2，φ= ，

數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0		π		2π
x	﹣
f（x）	0	3	0	﹣3	0

函數(shù)表達(dá)式為f（x）=3sin（2x+ ）

（2）解：將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得到圖象對(duì)于的函數(shù)解析式為：g（x）=3sin（x+ ）．

由x∈[﹣ ， ]，可得：x+ ∈[﹣ ， ]，可得：sin（x+ ）∈[﹣ ，1]，

可得：函數(shù)g（x）=3sin（x+ ）∈[﹣ ，3]

（3）解：若將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若h（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ），

由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+ ），得g（x）=3sin（2x+2θ+ ）．

因?yàn)閥=sinx的對(duì)稱中心為（kπ，0），k∈Z．

令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．

由于函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）成中心對(duì)稱，令： ﹣θ= ，

解得θ= ﹣ ，k∈Z．由θ＞0可知，當(dāng)k=1時(shí)，θ取得最小值

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步完成數(shù)據(jù)補(bǔ)充．（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域．（3）由（1）及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律得g（x），令2x+2θ+ =kπ，解得x= ﹣θ，k∈Z．令： ﹣θ= ，結(jié)合θ＞0即可解得θ的最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象(描點(diǎn)法及其特例—五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）)，還要掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．