Question

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

思路解析：本題寫(xiě)出函數(shù)y=f(v)=(+bv)s及其定義域（0,c）并不難，在運(yùn)用不等式的平均值定理求y的最小值時(shí)，確定其中等號(hào)成立條件時(shí),要由=bv解出v=后檢驗(yàn)是否在函數(shù)定義域（0,c］內(nèi).這時(shí)要對(duì)與c的大小作出討論,并且對(duì)于＞c的情形，求y的最小值還要另選方法，即選擇通過(guò)研究函數(shù)單調(diào)性而確定其最值的方法.這是一種運(yùn)用概念的一般方法，不過(guò)運(yùn)用時(shí)過(guò)程比較煩瑣就是了.

解：（1）依題意得汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為（時(shí)），全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv²·=s(+bv).

∴函數(shù)為y=s(+bv)，其定義域?yàn)椋?,c）.

（2）依題意得s、a、b、v均為正數(shù)，則s(+bv)≥2s=2s.當(dāng)且僅當(dāng)=bv，即v=時(shí)，上式“≥”處等號(hào)成立.

若≤c，則當(dāng)v=時(shí)，y取最小值.

若＞c時(shí)，任取v₁、v₂，使0＜v₁＜v₂≤c＜,

則(+bv₂)-(+bv₁)=b(v₂-v₁)+a()=(bv₁v₂-a).

由于v₁v₂＞0,v₂-v₁＞0，并且bv₁v₂＜a，

∴+bv₂＜+bv₁.

又s＞0,故s(+bv₂)＜s(+bv₁).

∴當(dāng)＞c時(shí)，v的函數(shù)y=s(+bv)在區(qū)間（0,c］上是減函數(shù)，當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值.

綜上，可知為了使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)≤c時(shí)，汽車行駛速度應(yīng)為v=（千米/時(shí)）；當(dāng)＞c時(shí)，汽車行駛速度應(yīng)為v=c（千米/時(shí)）.