Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），g（x）=-

a

x

，若至少存在一個x₀∈[1，e]，使f（x₀）＞g（x₀）成立，則實(shí)數(shù)a的范圍為（　�。�

• A、[λ，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（G（x），+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，令h（x）=

lnx

x

，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，
令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴

a

2

＞h（1）=0，
∴a＞0．
∴a的取值范圍是（0，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．