Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，M是棱PC上一點，且PM=

1

3

PC．
（Ⅰ）求證：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）證明：PA∥平面BMQ；
（Ⅲ）求二面角M-BQ-C的度數(shù)．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)已知中平面PAD⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質(zhì)定理，易得PQ⊥平面ABCD；
（2）證明線面平行，關鍵是利用線面平行的判定定理，只要證明PA平行于平面內(nèi)的一條直線；
（3）連結BD，以Q為坐標原點，QA，QB，QP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系，求出平面BMQ和BCQ的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（I）由已知中PA=PD，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）連接AC交BQ于N，連接MN，
∵AQ∥BC，
∴△ANQ∽△CNB
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

，
∴

AN

AC

=

1

3

，
∵PM=

1

3

PC，
∴PA∥MN
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（Ⅲ）連結BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q為坐標原點，QA，QB，QP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系

則Q(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
設平面BMQ的法向量為

m

=(x，y，z)，
∴

m • QB =0 m • MN =0

，注意到MN∥PA
∴

m • QB =0 m • PA =0

，
解得

m

=(

3

，0，1)是平面BMQ的一個法向量
又∵平面BCQ的法向量為

n

=

QP

=（0，0，

3

）
故二面角M-BQ-C的平面角θ滿足：
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

，
故θ=

π

3

，
即二面角M-BQ-C的平面角為

π

3

．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是利用線面平行的判定，理解面面角的定義，屬于中檔題．