Question

設函數(shù)f（x）=x|x-a|+b．
（1）當a=1，b=1時，求所有使f（x）=x成立的x的值．
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求證：a²+b²=0；
（3）設常數(shù)b=-1，且對任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）將a=1，b=1代入方程，解之即可；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義式可以找到a，b的關系式，化簡可得結(jié)論；
（3此問屬于不等式恒成立問題，可研究函數(shù)的單調(diào)性，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解：（1）當a=1，b=1時，函數(shù)f（x）=x|x-1|+1．
x|x-1|+1=x 解得x=1或x=-1；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，
令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a²+b²=0．
（3）由b=-1，當x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立．
當0＜x≤1時，f（x）＜0恒成立，也即x-

1

x

＜a＜x+

1

x

 恒成立．
令g(x)=x-

1

x

，因為g′(x)=1+

1

x2

＞0，所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴a＞g（x）_max=g（1）=0，
令h（x）=x+

1

x

，因為當0＜x＜1時，h′(x)=1-

1

x2

＜0，則h（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴a＜h（x）_min=h（1）=2．
∴實數(shù)a的取值范圍為0＜a＜2．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應用，以及函數(shù)與方程的關系，屬于中檔題，要認真體會解題思路．