Question

是否存在實數a，使得函數y=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：根據 y=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，結合0≤cosx≤1，利用二次函數的性質求得函數在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值，再結合在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為1，求得a的值．

解答： 解：因為y=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
當0≤x≤

π

2

時，0≤cosx≤1，
若

a

2

＞1時，即a＞2，則當cosx=1時，y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，∴a=

20

13

＜2（舍去）
若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，則當cosx=

a

2

時，
y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，求得a=

3

2

 或a=-4＜0（舍去）a=

3

2

．
若

a

2

＜＜0，即a＜0，則當cosx=0時，y_max=

5

8

a-

1

2

=1，可得a=

12

5

＞0（舍去），
綜合上述知，存在a=

3

2

符合題設．

點評：本題主要考查余弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．