Question

3．已知曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，θ為參數，以直角坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）若M（2，0），N為曲線C上的任意一點，求線段MN中點的軌跡的普通方程．

Answer 1

分析 （1）先將曲線C的參數方程化為普通方程，再化為極坐標方程；
（2）設線段MN中點為P（x，y）、N（x₁，y₁），由中點坐標公式求出x₁和y₁，代入圓的方程化簡化簡即可．

解答 解：（1）因為曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，θ為參數，
所以曲線C的普通方程為：x²+y²=4，
則曲線C的極坐標方程為：ρ=2；
（2）設線段MN中點為P（x，y），N（x₁，y₁），
因為M（2，0），所以2x=2+x₁，2y=0+y₁，
則x₁=2x-2，y₁=2y，
代入x²+y²=4 得，（2x-2）²+（2y）²=4，
化簡得，（x-1）²+y²=1．

點評 本題考查了參數方程、普通方程、極坐標方程之間的互化，中點坐標公式，以及軌跡方程的求法，考查化簡、變形能力．