Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A位橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=45°，則橢圓E的離心率等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先利用橢圓的對(duì)稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COx=45°，利用tan45°=

2y

a

，求得a=

3

b，最后根據(jù)
a²=c²+b²得出離心率．

解答： 解：∵AO是與x軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形，
∴BC∥OA，
則B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴B、C兩點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱的．
由題知：OA=a
四邊形OABC為平行四邊形，則BC=OA=a，
可設(shè)B（-

a

2

，y）C（

a

2

，y），
代入橢圓方程解得：|y|=

3

2

b，
設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，由于∠OAB=45°，四邊形OABC為平行四邊形，
則∠COx=45°，
對(duì)C點(diǎn)：tan45°=

3 2 b

a 2

=1，解得a=

3

b，
根據(jù)a²=c²+b²
得a²=c²+

1

3

a²，即有c²=

2

3

a²，
e²=

2

3

，即e=

6

3

．
故答案為：

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的對(duì)稱性以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，由橢圓的對(duì)稱性求出B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到a=

3

b是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．