Question

在運用計算機（器）作函數(shù)圖象時，經(jīng)常用到“符號函數(shù)”S（x）=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函數(shù)g（x）=

x， x＞2 -x， x＜2

，可以將g（x）表示為g（x）=x•S（x-2）+（-x）•S（2-x）輸入計算機，則計算機就會畫出函數(shù)g（x）的圖象．設f（x）=（-x²+4x-3）•S（x-1）+（x²-1）•S（1-x）（x≠1）．
（1）請把函數(shù)y=f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的大致圖象；
（3）設F（x）=f（x+k），是否存在實數(shù)k，使得F（x）為奇函數(shù)？若存在，寫出滿足條件的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）分當x＞1、當x=1和當x＜1時3種情況加以討論，分別根據(jù)S（x）的對應法則代入，可得f（x）相應范圍內(nèi)的表達式，最后綜合可得函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）畫分段函數(shù)每一段的圖象即可；
（3）根據(jù)第（2）問畫的圖象，結合函數(shù)圖象的平移知識，使圖象關于原點對稱，即可得到奇函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）分情況討論：
①當x＞1時，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②當x=1時，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③當x＜1時，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4，x=1 x2-1，x＜1

（2）函數(shù)y=f（x）的大致圖象：

（3）若F（x）為奇函數(shù)，則F（x）的圖象應關于原點對稱，
因為k＞0時，F(xiàn)（x）=f（x+k）的圖象可以看成是把函數(shù)f（x）的圖象向左平移k個單位得到，
又∵函數(shù)f（x）的圖象關于點A（1，0）對稱，∴只要把函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位后，圖象就關于原點對稱，
∴當k=1時，函數(shù)F（x）的圖象應關于原點對稱，則F（x）為奇函數(shù)．

點評：本題以分段函數(shù)和二次函數(shù)為載體，討論函數(shù)的奇偶性，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶性與函數(shù)平移等有關知識的綜合考查．