Question

已知函數f（x）=

ax

x2-1

（a＞0）．
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性并證明；
（3）若函數的定義域和值域同時為[-

1

2

，

1

2

]，求實數a的值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求出函數的定義域，根據函數的奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義即可判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性并證明；
（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系建立條件關系即可．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則x²-1≠0，即x≠±1，
則f（-x）=

-ax

x2-1

=-f（x），
故函數f（x）是奇函數；
（2）∵函數f（x）是奇函數
∴只要證明函數f（x）在[0，1）上的單調性即可；
設0≤x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+a)

(x12-1)(x22-1)

，
∵0≤x₁＜x₂＜1，a＞0
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂+a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
則函數f（x）在[0，1）上的單調遞減，
故f（x）在（-1，1）上的單調遞減．
（3）∵f（x）在（-1，1）上的單調遞減，
∴若函數的定義域和值域同時為[-

1

2

，

1

2

]，
則f（

1

2

）=-

1

2

，
即

1 2 a

1 4 -1

=-

1

2

，
解得a=

3

4

．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷以及奇偶性和單調性的應用，利用定義法是解決本題的關鍵．