Question

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)F任作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，則的最小值為________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

解法一：設(shè)出直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，求得、，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式，求得的最小值.

解法二：設(shè)直線AB的傾斜角為，結(jié)合拋物線的定義，利用表示出，然后利用基本不等式，求得的最小值.

解法一：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為．

由直線，與拋物線E分別交于兩點(diǎn)且，直線，的斜率均存在且不為0，

故可設(shè)直線的方程為，

則直線的方程，

聯(lián)立直線和拋物線E的方程，

得，

消去y得，

所以，

令代替此式中的，得，

因?yàn)?/span>，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為9．

解法二 設(shè)直線AB的傾斜角為，點(diǎn)A在x軸上方，作垂直拋物線E的準(zhǔn)線于，垂直x軸于，拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)G，

易知，

所以，

所以，

同理，

所以．

又DC與AB垂直，

所以直線DC的傾斜角為，

所以．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為9．

故答案為：