Question

在?ABCD中，A（1，1），

AB

=（6，0），點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P．
（1）若

AD

=（3，5），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)|

AB

|=|

AD

|時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出C的坐標(biāo)，

AC

=

AD

+

AB

，以及

OC

=

OA

+

AC

求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，當(dāng)|

AB

|=|

AD

|時(shí)?ABCD為菱形，

BP

⊥

AC

，表示

BP

，

AC

，即可求點(diǎn)P的軌跡．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
又

AC

=

AD

+

AB

=（3，5）+（6，0）=（9，5），
即（x₀-1，y₀-1）=（9，5），
∴x₀=10，y₀=6，即點(diǎn)C（10，6）．
（2）設(shè)P（x，y），則

BP

=

AP

-

AB

=（x-1，y-1）-（6，0）
=（x-7，y-1），

AC

=

AM

+

MC

=

1

2

AB

+3

MP

=

1

2

AB

+3（

AP

-

1

2

AB

）=3

AP

-

AB

=（3（x-1），3（y-1））-（6，0）
=（3x-9，3y-3）．
∵|

AB

|=|

AD

|，∴?ABCD為菱形，∴

BP

⊥

AC

，
∴（x-7，y-1）•（3x-9，3y-3）=0，
即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0．
∴x²+y²-10x-2y+22=0（y≠1）．
即（x-5）²+（y-1）²=4（y≠1）．
故點(diǎn)P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半徑的圓去掉與直線y=1的兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，求軌跡方程的方法，是難題．