Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)和都在橢圓上，代入橢圓方程，由求解.

（2）由（1）知：，設(shè)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入橢圓方程求得P，Q的坐標(biāo)，驗(yàn)證即可.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，將，轉(zhuǎn)化為，將韋達(dá)定理代入求解.

（1）因?yàn)?/span>和都在橢圓上，

所以，

解得，

所以橢圓方程為：.

（2）由（1）知：，設(shè)，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入橢圓方程解得：，

所以，不成立.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：

，

由韋達(dá)定理得：，

因?yàn)?/span>，

即，

即，

將代入上式得：

，

化簡(jiǎn)得：，

解得，

所以直線方程為：.

即