Question

【題目】是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于，證明:當時，.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）函數(shù)有零點等價于對應(yīng)方程有實數(shù)解，進而分離參數(shù)，并通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定其最值，從而得以確定參數(shù)的范圍；（2）通過所要證明的不等式的等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為兩個不等式問題，通過分類討論分別加以證明，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明與轉(zhuǎn)化．

（1）由函數(shù)有零點知，方程有實數(shù)解，因為，所以．設(shè)，，

則的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域．

因為，所以當，時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在時，取得最大值，

又上，，所以函數(shù)在上的值域為，．當時，，

所以函數(shù)在上的值域為，.

從而函數(shù)有零點時，實數(shù)的取值范圍為，

（2）可以轉(zhuǎn)化為證明兩個不等式①，②.

設(shè)，所以，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，

，函數(shù)在上單調(diào)遞增．故函數(shù)在時，取得最小值

，所以．

得證①

設(shè)，有，當時，．函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)，在上單調(diào)遞增．

故函數(shù)在時，取得最小值．

所以，得．（僅當時取等號）

又由為增函數(shù)，得②.

合并①②得證．