Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊是a，b，c，已知a=$\sqrt{3}$c，cos2B=$\frac{1}{2}$，B為鈍角．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{7}$，求AC邊上的高．

Answer 1

分析 （1）由范圍B∈（$\frac{π}{2}$，π），利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cosB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進而可得B的值．
（2）由（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，由余弦定理可求c，a的值，進而利用三角形面積公式可求AC邊上的高．

解答 解：（1）∵B為鈍角，B∈（$\frac{π}{2}$，π）
∴cosB＜0，
又∵cos2B=2cos²B-1=$\frac{1}{2}$，
∴解得：cosB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：B=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵由（1）可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{3}$c，b=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：7=a²+c²+$\sqrt{3}$ac=3c²+c²+$\sqrt{3}×\sqrt{3}c×c$，解得：c=1，a=$\sqrt{3}$，
設(shè)AC邊上的高為x，則：$\frac{1}{2}$a•c•sinB=$\frac{1}{2}$b•x，即：$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×x$，
解得：x=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，即AC邊上的高為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．