【題目】設函數,其中.
(Ⅰ)當時,討論函數的單調性;
(Ⅱ)若函數僅在處有極值,求的取值范圍;
(Ⅲ)若對于任意的,不等式上恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)在,內是增函數,在,內是減函數.(2);(3).
【解析】
(Ⅰ)當時,,解不等式和得到的增區(qū)間和減區(qū)間.
(Ⅱ),因僅在取極值,故恒成立,故可得的取值范圍.
(Ⅲ)由可知恒成立,結合函數的單調性可知,故由可得的取值范圍.
(Ⅰ).
當時,
.
令,解得,,.
當變化時,,的變化情況如下表:
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以在,內是增函數,在,內是減函數.
(Ⅱ),顯然不是方程的根.
為使僅在處有極值,必須恒成立,即有.
解此不等式,得.這時,是唯一極值.
因此滿足條件的的取值范圍是
(Ⅲ)由條件可知,從而恒成立.
當時,;當時,.
因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者.
為使對任意的不等式在上恒成立,當且僅當
即
在上恒成立,
所以,因此滿足條件的的取值范圍是
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【題目】已知函數,其中.
(1)若函數在處取得極值,求實數的值;
(2)在(1)的結論下,若關于的不等式,當時恒成立,求的值;
(3)令,若關于的方程在內至少有兩個解,求出實數的取值范圍。
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為為參數),若以直角坐標系中的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為為參數).
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若曲線與曲線有公共點,求的取值范圍.
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【題目】汽車“定速巡航”技術是用于控制汽車的定速行駛,當汽車被設定為定速巡航狀態(tài)時,電腦根據道路狀況和汽車的行駛阻力自動控制供油量,使汽車始終保持在所設定的車速行駛,而無需司機操縱油門,從而減輕疲勞,促進安全,節(jié)省燃料.某汽車公司為測量某型號汽車定速巡航狀態(tài)下的油耗情況,選擇一段長度為240km的平坦高速路段進行測試.經多次測試得到一輛汽車每小時耗油量F(單位:L)與速度v(單位:km/h)()的下列數據:
v | 0 | 40 | 60 | 80 | 120 |
F | 0 | 10 | 20 |
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系,現有以下三種函數模型供選擇:
,,.
(1)請選出你認為最符合實際的函數模型,并求出相應的函數解析式.
(2)這輛車在該測試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少?
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【題目】[選修44:坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數方程為(
為參數).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標
方程是.
(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點.若點的極坐標為,直線經過點且與曲線相交于兩點,求兩點間的距離的值.
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【題目】已知,,
(1)求的最小正周期和單調增區(qū)間
(2)求圖象的對稱軸的方程和對稱中心的坐標
(3)在給出的直角坐標系中,請畫出在區(qū)間上的圖象并求其值域.
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【題目】已知是定義域為的奇函數,且當時, ,設 “”.
(1)若為真,求實數的取值范圍;
(2)設集合與集合的交集為,若為假, 為真,求實數的取值范圍.
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