Question

如圖，斜邊長為4的直角△ABC，∠B=90°，∠A=60°且A在平面α上，B、C在平面α的同側(cè)，M為BC的中點．若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點的三角形△AB′C′，則M到平面α的距離的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)出B，C到面的距離，則M到平面α的距離為兩者和的一半，確定ab=4，即可求出M到平面α的距離的取值范圍．

解答： 解：斜邊長為4的直角△ABC，∠B=90°，∠A=60°，則AB=2，BC=2

3

，AM=

7

設(shè)B，C到平面α距離分別為a，b，則M到平面α距離為h=

a+b

2

射影三角形兩直角邊的平方分別4-a²，16-b²，
設(shè)線段BC射影長為c，則4-a²+16-b²=c²，（1）
又線段AM射影長為

c

2

，所以（

c

2

）²+

(a+b)2

4

=7，（2）
由（1）（2）聯(lián)立解得ab=4，
∵a＜2，b＜4，
∴1＜a＜2，
∴h=

a+b

2

=

1

2

（a+

4

a

）∈（2，

5

2

）．
故答案為：（2，

5

2

）．

點評：本題考查M到平面α的距離的取值范圍，考查學生分析解決問題的能力，確定ab=4是關(guān)鍵．