Question

如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(－1，0)，B(2，0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線（其中）與y軸相交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q，R，且，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）首先由題意可知，顯然，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，可將轉(zhuǎn)化為正切值即斜率之間的關(guān)系，從而可以得到，所滿足的關(guān)系式，即可得到軌跡方程：，即，化簡(jiǎn)可得，，而點(diǎn)也在曲線，軌跡的方程為；（2）首先將直線方程與軌跡的方程聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)后可得：，故若設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則問(wèn)題等價(jià)于在有兩個(gè)大于的根，，且的條件下，求的取值范圍，因此首先根據(jù)方程有兩個(gè)大于的正根，可求得的取值范圍是，再由求根公式，可將表示為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系：，在下，可得，即的取值范圍是．

試題解析：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，顯然有，且， 1分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 2分

當(dāng)時(shí)，，由，

有，即， 4分

化簡(jiǎn)可得，，而點(diǎn)也在曲線， 5分

綜上可知，軌跡的方程為； 6分

（2）由，消去并整理，得， 7分

由題意，方程有兩根且均在內(nèi)．設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴，解得，且， 9分

又∵，∴， 10分

設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，由及方程有

，，

∴，

由，得， 12分

故的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：1．圓錐曲線軌跡；2．直線與雙曲線相交綜合題．