Question

【題目】證明：任何一個(gè)正方形均可分割成個(gè)全等的非矩形圖形，其中，、為互不相等的素?cái)?shù)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

若存在一個(gè)矩形可分割成個(gè)全等的非矩形圖形，則可通過(guò)倍長(zhǎng)這個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)將其拉伸成一個(gè)正方形．

此時(shí)，可考慮用較簡(jiǎn)單的“角形”（如圖4）來(lái)分割該矩形．

因此，只需說(shuō)明存在個(gè)角形拼成的矩形，也就是說(shuō)存在一個(gè)面積為的矩形可完全分割成角形即可，不妨設(shè)．

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的素?cái)?shù)，必存在一個(gè)面積為的矩形可分割成角形（由個(gè)的矩形并排組成的矩形），即任何一個(gè)正方形可分割成個(gè)全等的非矩形圖形．

當(dāng)時(shí)，只需說(shuō)明存在一個(gè)面積為的矩形可分割成角形即可．

先將一個(gè)的矩形分割成15個(gè)角形（如圖5），稱該矩形為“基本矩形”．

（1）若，，其基本矩形就是它的分割．故命題成立．

若，，由為素?cái)?shù)，知為奇數(shù)．

此時(shí)，只需在基本矩形下添若干行的矩形即可，而每個(gè)的矩形是由三個(gè)的矩形并排而成，可分割成角形．故命題成立．

（2）若，由（1），知可用角形拼成一個(gè)的矩形．

由于，又為奇素?cái)?shù)，為的倍數(shù)，因此，可在原的矩形右側(cè)添加若干個(gè)的矩形，而每個(gè)的矩形可分割成角形，它們一起構(gòu)成一個(gè)面積為的矩形．

故命題成立．

綜上，對(duì)任意的素?cái)?shù)、，均存在一個(gè)矩形，可將其分割成個(gè)角形．

從而，任何一個(gè)正方形均可分割成個(gè)全等的非矩形圖形，其中，、為互不相等的素?cái)?shù)．