Question

在已知數(shù)列{a_n}中，a₁=9，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{lg（a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積為T_n，即T_n=（a₁+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記C_n=

lgTn+1

[lg(an+1+1)-1][lg(an+2+1)-1]

，設(shè)數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得an+1+1=(an+1)2，兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），由此能證明數(shù)列{lg（a_n+1）}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(an+1)=2n-1，從而lgT_n=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1），由此求出lgT_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）由C_n=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=9，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴an+1=an2+2an，∴an+1+1=(an+1)2，
對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)，得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
∵a₁=9，∴l(xiāng)g（a₁+1）=lg10=1，
∴數(shù)列{lg（a_n+1）}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知lg(an+1)=2n-1，
T_n=（a₁+1）…（a_n+1），
∴l(xiāng)gT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）
=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（Ⅲ）證明：C_n=

lgTn+1

[lg(an+1+1)-1][lg(an+2+1)-1]

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
S_n=（

1

2-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+（

1

23-1

-

1

24-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

＜1．
∴S_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．