已知a>0,函數(shù)f(x)=x|x-a|+1(x∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求所有使f(x)=x成立的x的值;
(2)當(dāng)a∈(0,3)時(shí),求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[1,2]上的最小值;
(3)試討論函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解:(1)當(dāng)a=1時(shí),有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1;
(2)
1°.當(dāng)0<a≤1時(shí),x≥1≥a,這時(shí),f(x)=x2-ax+1,對稱軸,
所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上遞增,f(x)min=f(1)=2-a;
2°.當(dāng)1<a≤2時(shí),x=a時(shí)函數(shù)f(x)min=f(a)=1;
3°.當(dāng)2<a<3時(shí),x≤2<a,這時(shí),f(x)=-x2+ax+1,對稱軸,
f(1)=a,f(2)=2a-3,∵(2a-3)-a=a-3<0
所以函數(shù)f(x)min=f(2)=2a-3;
(3)因?yàn)閍>0,所以,
所以y1=x2-ax+1在[a,+∞)上遞增;y2=-x2+ax+1在遞增,在上遞減.
因?yàn)閒(a)=1,所以當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn);
,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí),等號(hào)成立.
所以,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有1個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)1<a<2時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有2個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)a>2時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有3個(gè)交點(diǎn).
分析:(1)把a(bǔ)=1代入f(x)=x|x-a|+1,解方程f(x)=x即可求得結(jié)果;
(2)去絕對值符號(hào),,對a分情況討論,0<a≤1時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上遞增,求出函數(shù)的最小值;當(dāng)1<a≤2時(shí),f(x)min=f(a)=1;
當(dāng)2<a<3時(shí),x≤2<a,數(shù)f(x)min=f(2)=2a-3;
(3)a>0時(shí),求出函數(shù)在各段上的函數(shù)的最值和單調(diào)性,即可對a進(jìn)行分類討論,即可求得結(jié)果.
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題和函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)等知識(shí),去絕對值求出函數(shù)的解析式,并對各段函數(shù)的最值的求解是解題的關(guān)鍵,考查運(yùn)算能力和分析解決問題的能力,屬難題.
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已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是( 。
A、?x∈R,f(x)≤f(x0B、?x∈R,f(x)≥f(x0C、?x∈R,f(x)≤f(x0D、?x∈R,f(x)≥f(x0

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已知a>0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值.

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已知a>0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,函數(shù)f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的圖象連續(xù)不斷)
(Ⅰ)當(dāng)a=
1
8
時(shí)
①求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
②證明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f(
3
2
);
(Ⅱ)若存在均屬于區(qū)間[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1,4]上的最大值等于
1
2
,則a的值為
 

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