Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，過焦點且垂直于x軸的弦長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E右焦點的直線l交橢圓于點M，N，設橢圓的左焦點為F，求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出橢圓焦點坐標，并得到所過定點（2，$\sqrt{2}$），再由橢圓定義可得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當直線l垂直于x軸時，求出M，N的坐標，直接求得$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的值；當直線l不垂直于x軸，可設l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，借助于根與系數(shù)的關系及向量的坐標運算求得$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距是4，∴焦點坐標是（-2，0），（2，0）．
由題意可得，橢圓E過（2，$\sqrt{2}$）點，
∴2a=$\sqrt{（2-2）^{2}+（\sqrt{2}-0）^{2}}+\sqrt{（2+2）^{2}+（\sqrt{2}-0）^{2}}=4\sqrt{2}$．
則a=2$\sqrt{2}$，$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=2$．
∴橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由題意得，左焦點F（-2，0），右焦點坐標為（2，0）．
若直線l垂直于x軸，則點M（$2，\sqrt{2}$），N（2，-$\sqrt{2}$）．
$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4，$\sqrt{2}$）•（4，-$\sqrt{2}$）=14；
若直線l不垂直于x軸，可設l的方程為y=k（x-2），設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得到（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=（{x}_{1}+2，{y}_{1}）•（{x}_{2}+2，{y}_{2}）$=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+2（1-{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+4（1+{k}^{2}）$
=$\frac{28{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=14-\frac{18}{1+2{k}^{2}}$．
∵0＜$\frac{18}{1+2{k}^{2}}$＜18，∴$-4＜\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}＜14$，
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$的取值范圍是[-4，14]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的綜合運用，屬中檔題．