Question

14．已知A為銳角△ABC的內(nèi)角，且 sinA-2cosA=a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求tanA的值；
（Ⅱ）若a＜0，且函數(shù)f（x）=（sinA）•x²-（2cosA）•x+1在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求sin²A-sinA•cosA的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sinA和cosA的值，可得tanA的值．
（2）由題意可得1≤tanA＜2，化簡(jiǎn)要求式子為-$\frac{1}{t+\frac{2}{t}-2}$，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得它的范圍．

解答 解：（Ⅰ）銳角△ABC中，a=-1，由題意可得$\left\{{\begin{array}{l}{sinA-2cosA=-1}\\{{{sin}^2}A+{{cos}^2}A=1}\end{array}}\right.$，
求得$\left\{{\begin{array}{l}{cosA=\frac{4}{5}}\\{sinA=\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{cosA=0}\\{sinA=1}\end{array}}\right.$（舍去），∴$tanA=\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）若a＜0，由題意可得sinA-2cosA＜0，得tanA＜2，又$\frac{cosA}{sinA}≤1$，tanA≥1，
∴1≤tanA＜2，∴${sin^2}A-sinA•cosA=\frac{{{{sin}^2}A-sinA•cosA}}{{{{sin}^2}A+{{cos}^2}A}}=\frac{{{{tan}^2}A-tanA}}{{{{tan}^2}A+1}}$=$-\frac{1+tanA}{{{{tan}^2}A+1}}+1$，
令t=tanA+1，2≤t＜3，∴${sin^2}A-sinA•cosA=-\frac{t}{{{t^2}-2t+2}}+1=-\frac{1}{{t+\frac{2}{t}-2}}+1$，
∵y=$t+\frac{2}{t}-2$在[2，3）上遞增，∴$1≤t+\frac{2}{t}-2＜\frac{5}{3}$，∴$0≤-\frac{1}{{t+\frac{2}{t}-2}}+1＜\frac{2}{5}$．
即sin²A-sinA•cosA的取值范圍為$[0，\frac{2}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．